Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Bài viết Các công thức về cấp số nhân đầy đủ nhất Toán lớp 11 hay nhất gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập minh họa áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Các công thức về cấp số nhân đầy đủ nhất.

Xem thêm :

Tóm Tắt

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 .q với n ∈ N^*

Đặc biệt:

– Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

– Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

– Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n – 1} với ∀n ∈ N^*, n ≥ 2

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k – 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Công thức

– Công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q với n ∈ N^*

– Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁. q^{n – 1} với ∀n ∈ N, n ≥ 2

– Ba số hạng u_{k – 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

– Tổng n số hạng đầu tiên:

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, q = – 2.

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u₂₅ = u₁. q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

⇔ 3.(-2)^k-1= 49152

⇔ (-2)^k-1= 16384 = (-2)¹⁴

⇔ k = 15

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

c) Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; u₇; … u₂₀₁ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội

Dãy (v_n) có số hạng

4. Mọi người cũng hỏi

Cấp số nhân là gì và cách xác định công thức tổng của nó?

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số sau đó đều bằng một hằng số gọi là công bội nhân với số trước đó để thu được số tiếp theo. Công thức tổng của cấp số nhân là S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r), trong đó S_n là tổng n số đầu tiên của cấp số nhân, n là số lượng số trong dãy, a là số hạng đầu tiên và r là công bội.

Các tính chất đặc biệt của cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân có các tính chất đặc biệt như tổng n số đầu tiên, tổng vô hạn và hạn chế của cấp số nhân. Khi giá trị của công bội nhân r nằm trong khoảng -1 đến 1, cấp số nhân hội tụ về một giá trị cố định khi số lượng số trong dãy tiến tới vô cùng.

Cách tính số hạng thứ n trong cấp số nhân?

Để tính số hạng thứ n trong cấp số nhân, ta sử dụng công thức a_n = a * r^(n-1), trong đó a_n là số hạng thứ n, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số thứ tự của số hạng cần tính.

Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế là gì?

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế như trong tài chính, kinh tế, khoa học máy tính, xử lý tín hiệu, và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ, trong tài chính, cấp số nhân được sử dụng để tính lãi suất lũy tiến; trong khoa học máy tính, nó được áp dụng trong các thuật toán tối ưu và mã hóa thông tin.